Additive Gruppen von Folgen Ganzer Zahlen

Die Folgen ganzer Zahlen {a n} (vom Typus ω) bilden auf Grund der Addition {a n} + {b n} = {a n + b n} eine abelsche Gruppe F. Diese Gruppe F und gewisse ihrer Untergruppen sollen im folgenden untersucht werden. Als erstes werden wir zeigen, dass jede abzählbare Untergruppe von F eine freie abelsche Gruppe ist (Satz I; eine abelsche Gruppe heisst eine freie abelsche Gruppe, wenn sie eine solche Teilmenge B — Basis genannt — besitzt, dass jedes Gruppenelement J darstellbar ist in der Form $$\mathcal{J} = \sum\limits_{i = 1}^m {{n_i}{b_i}}$$ , n i ganz, b i ∈ B und wenn aus Σ n i b i = 0, b i∈ B, b i ≠ b, für i ≠ j folgt, dass ni = 0; da alle betrachteten Gruppen abelsch sind, werden wir statt «freie abelsche Gruppe» auch kurz «freie Gruppe» sagen.) Die Gruppe F selbst dagegen ist nicht frei. Wir werden nämlich zeigen, dass F eine nicht freie Untergruppe der Mächtigkeit ℵ1 besitzt (Satz II, der dasselbe auch für gewisse Untergruppen von F aussagt); die F selbst betreffende Behauptung ist darin enthalten, da jede Untergruppe einer freien Gruppe frei ist (vgl. z. B. S. Lefschetz [1], S. 50).