Hecke Eigenvalues for Real Quadratic Fields (Automorphic forms, automorphic representations and automorphic $L$-functions over algebraic groups)

Hecke Eigenvalues for Real Quadratic Fields立命館大学理工学研究科 岡田薫 (Kaoru Okada) $F$ を類数が 1 より大きい総実代数体とする.このとき $F$ 上の Hilbert cusp forms の空 間 $S_{k}(\mathrm{c}, \psi)$ 及び, それに作用する Hecke 作用素 $T(a)$ について考える.ここで次のような 自然な疑問が浮かぶ: "端数が 1 より大きいということが Hecke 作用素の固有値に影響を 及ぼしているのだろうか?"例えば $F$ の各 ideal 類に対して, 類の各元に対応する Hecke 作用素の固有値たちは, 類ごとになんらかの共通する性質を持つのであろうか? そのような疑問について考えるために、 まずは固有値のデータを見てみたいということ になるのであるが, これまで類数が 1 より大きい場合には Hecke 作用素の固有値が具体的 に計算された例がないようである.そこで今回 $F$ が特に実 2 気体の場合に trace formula を用いて Hecke 作用素の固有値を具体的に計算してみた.そしてその固有値についてデー タをもとに考察したところ, 特に単項類については興味深い現象が見られた.本稿では trace formula の計算方法について簡単に説明した後, $F=\mathrm{Q}(\sqrt{401})$ (類数は 5) の場合に Hecke 作用素の固有多項式をあたえ, そのうえでそのデータから読み取れる 固有値の性質について述べる.(詳しくは [Okada] を参照されたい) 1 Hilbert cusp forms and Hecke operators この section では, 対象となる Hilbert cusp forms の空間, 及びそれに作用する Hecke 作 用素の定義について述べる.その際 formulation は [Shimura, \S 2] に従う.(ただし level $\mathrm{c}$