Μέθοδοι υποχώρων krylov για την επίλυση γραμμικών συστημάτων Toeplitz

Στην παρούσα διδακτορική διατριβή γίνεται μελέτη της προρρύθμισης τετραγωνικών, μη-συμμετρικών και πραγματικών συστημάτων Toeplitz. Αποδεικνύονται θεωρητικά αποτελέσματα, τα οποία αποτελούν ικανές συνθήκες για την αποτελεσματικότητα των προτεινόμενων προρρυθμιστών και την ταχεία σύγκλιση στη λύση του συστήματος, με μεθόδους όπως η Προρρυθμισμένη Γενικευμένη μέθοδος Ελαχίστων Υπολοίπων (PGMRES) και η Προρρυθμισμένη μέθοδος Συζυγών Κλίσεων για το σύστημα των Κανονικών Εξισώσεων (PCGN).Στο πρώτο κεφάλαιο παραθέτουμε βασικές εισαγωγικές έννοιες, ορισμούς και θεωρητικά αποτελέσματα, τα οποία χρησιμοποιήσαμε για να αποδείξουμε τα θεωρητικά αποτελέσματα της διατριβής. Αυτά έχουν να κάνουν κυρίως με τη συσσώρευση του φάσματος, αλλά και των ιδιαζουσών τιμών, αφού αυτή αποτελεί κριτήριο για το πόσο αποτελεσματικός είναι κάποιος προρρυθμιστής.Στο δεύτερο κεφάλαιο κατασκευάζουμε έναν ταινιωτό Toeplitz προρρυθμιστή, για συστήματα με καλή, αλλά και κακή κατάσταση. Η τεχνική προρρύθμισης βασίζεται στην εύρεση ενός κατάλληλου τριγωνομετρικού πολυωνύμου για την άρση των ριζών της γεννήτριας συνάρτησης (αν υπάρχουν), σε συνδυασμό με προσέγγιση από κάποιο άλλο τριγωνομετρικό πολυώνυμο. Αποδείχθηκε η συσσώρευση των ιδιοτιμών, καθώς και των ιδιαζουσών τιμών του προρρυθμισμένου συστήματος.Στο τρίτο κεφάλαιο κατασκευάζουμε έναν κυκλοειδή (circulant) προρρυθμιστή για συστήματα Toeplitz με καλή κατάσταση, καθώς κι έναν ταινιωτό-επί-κυκλοειδή (band-times-circulant) προρρυθμιστή για συστήματα με κακή κατάσταση. Αποδεικνύονται αντίστοιχα θεωρητικά αποτελέσματα, ενώ γίνεται και σύγκριση με τον προρρυθμιστή του προηγούμενου κεφαλαίου στα αριθμητικά αποτελέσματα, της τελευταίας ενότητας.Στο τέταρτο και τελευταίο κεφάλαιο της διατριβής μελετάμε συστήματα Toeplitz, των οποίων η γεννήτρια συνάρτηση υπάρχει, αλλά δεν είναι γνωστή εκ των προτέρων. Γίνεται κατάλληλη προσαρμογή των προρρυθμιστών που κατασκευάστηκαν στα προηγούμενα κεφάλαια. Με τεχνικές εκτίμησης της γεννήτριας συνάρτησης, των ριζών αυτής και της πολλαπλότητας των εν λόγω ριζών, κατασκευάζουμε αντίστοιχους προρρυθμιστές.