Ideals of compact operators

Ideale in der Algebra aller beschränkten linearen Operatoren eines Hilbertraumes H in sich sind ein viel studiertes Objekt. Ist H separabel, so sind alle echten Ideale in dem Ideal K(H) der kompakten Operatoren enthalten. Seit einer grundlegenden Arbeit von J.W.Calkin aus 1941 weiß man, dass Ideale in K(H) bijektiv gewissen Räumen monotoner Nullfolgen entsprechen. Von besonderem Interesse in der Spektraltheorie sind Ideale welche zusätzlich mit einer symmetrischen Norm versehen sind, und bezüglich dieser vollständig sind. Solche nennt man „symmetrisch normierte Ideale“. Zum Beispiel denke man an Neumann von Schatten Klassen, die in dem Kontext der Operatortheorie den lp Räumen aus der klassischen Analysis entsprechen. Es war eine lange offene Frage, welche Räume von Nullfolgen bei der Calkin Korrespondenz symmetrisch normierten Ideale entsprechen. Diese wurde erst 2008 in einer Arbeit von N.J. Kalton und F.A. Sukochev beantwortet.In der vorliegenden Diplomarbeit wird der Beweis von Kalton und Sukochev aufgearbeitet, effizienter gestaltet, und in ansprechender Weise präsentiert. Dadurch werden die Hintergründe des Sachverhaltes klarer, und dieses tiefliegende Ergebnis auch einer weiten potentiellen Leserschaft (von Masterstudenten mit einschlägigen Vorkenntnissen bis hin zu Wissenschaftern, die im weiteren Umfeld des Themengebietes forschen) zugänglich gemacht. Des weiteren enthält die Arbeit auch einen Abschnitt, welcher vorbereitenden Charakter hat, und auf eine Präsentation einiger Sätze von A. A. Mititel und G. I. Russu aus den 1970er und 1980er Jahren abzielt, welche leider nur einem sehr kleinen Kreis bekannt sind und deren Beweise nie in allgemein zugänglicher Form publiziert wurden. Es ist geplant in einem der Diplomarbeit folgenden Survey Artikel diese Sätze vollständig zu beweisen, und damit einer breiten Leserschaft bekannt zu machen.