On a circle of curvature

Časopis pro pěstování matematiky a fysiky, ro6.73 (1949) ČLÁNKY A REFERÁTY O KRUŽNICI KŘIVOSTI VOJTĚCH JARNÍK, Praha Tento článek byl přijat do Časopisu r. 1941; nevyšel však, ježto Časopis byl okupanty zastaven.Nepovažuji tento článek za práci na prosto původní; mnoho z toho, co zde v dalším je uvedeno, najde se po různu v literatuře.Jde o diskusi pojmu "kružnice křivosti' ť ke "křivce" y = f(x) v bodě P 0 = [x 0 , f(x 0 )].Od většiny úvah.které jsem viděl v literatuře, se tento článek Mší větší obecností: o funkci / se nepředpoklá dá nic jiného, než že je spojitá v bodě x 0 .Hlavní důvod, proč tento článek publikuji, je tento: Nemáme toho času učebnice diferenciálního počtu pro pokročilejší matematiky.Zdá se mně pak, že předmět článku posky tuje velmi dobrou příležitost k procvičení pojmu "limita funkce několika _ proměnných'', a proto jej zde podávám ve formě souvislého výkladu, v němž však většina důkazů je pouze naznačena, provedení je pak pře necháno čtenáři.1 ) Charakter článku je naprosto elementární, jde však o dosti delikátní limitní úvahy, a proto je záhodno.aby si čtenář provedl naznačené důkazy zcela podrobně a velmi obezřetně.Oč běží, dozví se čtenář v § 2; napřed však odvodíme v § 1 několik pomocných vět, většinou (a možná vesměs) známých. § I •Pomocné věty.Všechna čísla v tomto článku jsou reálná; rovněž funkce.Ježto budeme často mluviti o limitách funkcí několika proměnných; musíme se přesně smluviti na označení.Vedle konečných limit připouští me též limity -f-co a -oo.Jsou-li a v ...,a n nějaká čísla, znamená rov nice lim F(x ± , x 2 , .... x tl ) = A [ah t ,x t ,...,ir n ]-r[a l ,u it ...,a n ] při konečném A toto: ke každému kladnému číslu e existuje kladné číslo d tak, že pro všechny systémy čísel x u x 2 , ..., x n , splňující nerovnosti x ) Je tedy tento článek vlastně řadou úloh, spjatých společným thematem.Podotýkám: limita (derivace a pod.) konečná -nekonečná znamená totéž co vlastní -nevlastní.D37 O < MaxflíBi -a*|) < O, 2 ) je F(# l5 x 2 , .... ar n ) definováno a splňuje neť.=-l, 2,...,n rovnost |F(£ l5 £ 2 , ,..,»») --á| < «s. 3 ) Často budeme mluviti o limitách, kde proměnné jsou vázány urči tými podmínkami; tyto podmínky budeme psáti pod znamení limitní.Příklad: budiž dáno číslo x 0 ; potom rovnice lim F(# l5 x 2 ) = A (x % -x Q )(x 2 -jr o )>0značí při konečném A toto: ke každému a > 0 existuje ó > 0 tak, že pro všechny dvojice číselje F(# l5 # 2 ) definováno a splňuje nerovnost |jP(ar ls rr 2 )-A\ < s. z ) Obdobných označení budeme užívati pro limes superior a limes inferior.Je-li funkce f(x) definována aspoň v jistém intervalu <(£, £ +-5} (d > O), 5 ) definujeme číslo /+(£), t. zv.horní derivované číslo funkce / zprava v boděf, rovnicí