Sur les sous-groupes arithmétiques des groupes semi-simples déployés

Soient k un corps de nombres algébriques et (T l'anneau des entiers de /c.Soient G un groupe algébrique linéaire connexe défini sur k et G/, le groupe des points rationnels de G. Si l'on note Go le groupe des points entiers de G relativement à un plongement donné de G dans un groupe linéaire GL,<, un sous-groupe F' de G/, est appelé sous-groupe arithmétique si r'nGiî est d'indice fini dans F' et dans G(T.Pour tout idéal 1} non nul de n, le sous-groupe I\ de Go formé des éléments g tels que g===i module i] est un tel sous-groupe de G/,.Un sous-groupe arithmétique F" de G/c est appelé sous-groupe de congruence si F' contient le sousgroupe r^ de Gff pour un idéal il non nul de û.Ces définitions de sousgroupes arithmétique et de congruence ne dépendent pas du choix du plongement de G dans un groupe linéaire.Le problème des groupes de congruence pour G/, consiste à savoir si tout sous-groupe arithmétique de G/, est un sous-groupe de congruence, autrement dit si tout sous-groupe d'indice fini dans Go contient Fxy pour un idéal fl non nul de t».Le but principal du présent Mémoire est de résoudre ce problème pour les groupes simples simplement connexes G déployés sur k et de rang ^2.Nous traitons également un problème analogue pour les groupes Gxr où (t est un anneau de Dedekind dit de type arithmétique.Au chapitre I, nous étudions les propriétés d'une suite exacte de groupes localement compacts liée au problème des groupes de coïlgruence.Soit G un groupe simple simplement connexe déployé sur k.Mettons une topologie T,/ [resp.T,.J sur G/, en prenant comme base de voisinages de l'élément neutre les sous-groupes arithmétiques [resp.de congruence] de G/,, H. MATSUMOTO.Nous tirons de ces théorèmes une solution au problème des groupes de congruence pour les groupes simples simplement connexes G de rang ^2 et déployés sur un corps de nombres algébriques k : le noyau C(G/c) du morphisme îi de G/, sur G/; est isomorphe à ^ si k est totalement imaginaire; sinon, C(G/,) se réduit à l'élément neutre.En particulier, si k possède au moins un conjugué réel, tout sous-groupe arithmétique de G/, est un sous-groupe de congruence.On voit aussi que, si G est de rang ^.2, tout sous-groupe arithmétique de G/c contient un sous-groupe d'indice fini engendré par des éléments unipotents.Cette solution au problème des groupes de congruence avait été obtenue, pour les groupes SL^ (^^3) et Spa^ (^^2) sur Q, indépendamment par J. Mennicke ([22], [23]) et par H. Bass, M. Lazard et J.-P.Serre [3], et ensuite pour ces mêmes groupes sur un corps de nombres arbitraire par Bass, J. Milnor et Serre [4].Le cas de SLa a récemment été résolu par Serre {voir [29]).Cette thèse a été réalisée sous la direction de M. F. Bruhat, qui m'avait suggéré l'idée d'entreprendre cette étude.Je lui en exprime toute ma gratitude.Je tiens à remercier vivement M. J.-P.Serre pour les conseils qu'il n'a cessé de me prodiguer tant au cours de l'élaboration de mon travail que pendant sa rédaction définitive.Je remercie également M. P. Samuel, qui a bien voulu me proposer un second sujet de thèse. CHAPITRE I.