The $m$-Cover Posets and the Strip-Decomposition of $m$-Dyck Paths

Abstract. In the first part of this article we present a realization of the m-Tamari lattice T (m)n in terms of m-tuples of Dyck paths of height n, equipped with componentwise rotation order. For that, we define the m-cover poset P〈m 〉 of an arbitrary bounded poset P, and show that the smallest lattice completion of the m-cover poset of the Tamari lattice Tn is isomorphic to the m-Tamari lattice T (m)n. A crucial tool for the proof of this isomorphism is a decomposition of m-Dyck paths into m-tuples of classical Dyck paths, which we call the strip-decomposition. Subsequently, we characterize the cases where the m-cover poset of an arbitrary poset is a lattice. Finally, we show that the m-cover poset of the Cambrian lattice of the dihedral group is a trim lattice with cardinality equal to the generalized Fuss-Catalan number of the dihedral group. Résumé. Dans la première partie de cet article nous présentons une réalisation du treillis m-Tamari T (m)n a ̀ l’aide de m-uplets de chemins de Dyck de hauteur n, équipés de l’ordre de rotation composante par composante. Pour cela, nous définissons le poset de m-couverture P〈m 〉 d’un poset borne ́ quelconque P, et montrons que la plus petite complétion en treillis du poset dem-couverture du treillis de Tamari Tn est isomorphe au treillism-Tamari T (m)n. Un outil crucial pour la preuve de cet isomorphisme est une décomposition des cheminsm-Dyck enm-uplets de chemins de Dyck usuels, que nous appelons la décomposition en bandes. Par la suite, nous caractérisons les cas ou ̀ le poset de m-couverture d’un poset donne ́ est un treillis. Enfin nous montrons que le poset dem-couverture du treillis Cambrien du groupe diédral est un treillis svelte de cardinalite ́ le nombre généralise ́ de Fuss-Catalan du groupe diédral.