Local limits of large Galton–Watson trees rerooted at a random vertex

Nous discutons de plusieurs formes de convergence du voisinage d’un sommet aléatoire uniforme dans des arbres aléatoires simplement générés, lorsque leur taille tend vers l’infini. Pour le cas standard d’un arbre de Galton–Watson critique conditionné à être grand, la limite est le sin-tree invariant aléatoire construit par Aldous (1991). Dans le régime de condensation, nous décrivons en toute généralité le comportement asymptotique local depuis un sommet aléatoire jusqu’à son premier ancêtre de grand degré. Au delà de cet ancêtre distingué, différents comportements peuvent apparaître selon les poids de branchement. Dans un sous-régime de condensation complète, nous obtenons la convergence vers un nouvel arbre limite, qui décrit la forme asymptotique du voisinage du chemin complet depuis un sommet aléatoire jusqu’à la racine. Cela inclut le cas où la distribution de la descendance suit une loi de puissance, à un facteur près qui varie lentement à l’infini.