Stochastic Heat Equation and Catalytic Super-Brownian Motion

Diese Arbeit beschäftigt sich mit der Existenz von bestimmten stochastischen Prozessen mit unendlich-dimensionalen Zustandsräumen sowie mit Regularitätseigenschaften von deren Pfaden. Ein Hauptteil des Interesses gilt der 1-dimensionalen stochastischen Wärmeleitungsgleichung mit singulärem Drift, die durch ein inhomogenes weißes Zeit-Raum-Rauschen angetrieben wird. Das quadratische Variationsmaß des weißen Rauschens muss dabei weder im Raum noch in der Zeit absolut stetig bezüglich des Lebesguemaßes sein. Wir beweisen Aussagen über die Existenz, Eindeutigkeit und Nichtnegativität von stetigen Lösungen. Weiterhin beschäftigen wir uns mit der d-dimensionalen katalytischen super-Brownschen Bewegung (KSBB). Wir führen eine neue Zulässigkeitsbedingung für den Katalysator ein und zeigen verschiedene Eigenschaften der zugehörigen KSBB. Die Hauptfrage, die wir studieren, lautet: Für welche Katalysatoren und in welcher Dimension besitzt die KSBB ein stetiges (Lebesgue) Dichtefeld? Es stellt sich heraus, dass es in Dimension d=1 eine große Klasse von nichtatomaren Katalysatoren gibt, die ein reguläres Dichtefeld induzieren. Das letztgenannte kann als eindeutige schwache Lösung einer Version der oben beschriebenen stochastischen Wärmeleitungsgleichung charakterisiert werden.