Two-parameter non-commutative Central Limit Theorem

En 1992, Speicher a montré que les mesures de probabilités jouant le rôle des lois gaussiennes dans les différentes théories des probabilités non-commutatives (probabilités fermioniques, probabilités libres à la Voiculescu, probabilités $q$-déformées à la Bożejko et Speicher) apparaissent toutes comme limites d’un Théorème de la limite centrale généralisé. Ceci concerne des suites de variables aléatoires non-commutatives (éléments d’une $\ast$-algèbre munie d’un état) choisies dans un ensemble d’éléments qui commutent ou anti-commutent deux-à-deux, avec les distributions limites respectives déterminées par la valeur moyenne des coefficients de commutation. Dans ce papier, nous dérivons une forme plus générale du Théorème de la limite centrale où les coefficients de commutation deux-à-deux sont des nombres réels arbitraires. Les statistiques gaussiennes classiques dépendent maintenant d’un second paramètre comme résultat du contrôle du premier et du second moment des coefficients de commutation. Une application donne le modèle de matrices aléatoires pour les statistiques $(q,t)$-gaussiennes, pour lesquelles il a été montré récemment qu’elles ont des profondes connexions avec les algèbres d’opérateurs, les fonctions spéciales, les polynômes orthogonaux, la physique mathématique et la théorie des matrices aléatoires.